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수치해석 - 이분법, 뉴턴법, 할선법 (c++ 프로그램소스 있음)
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수치해석 - 이분법, 뉴턴법, 할선법 (c++ 프로그램소스 있음)
1. 이론
[이분법]
이분법 (bisection 또는 binary-search method) 은 f(x)=0을 만족하는 단일 변수 방정식의 근을 구하는 수치해석 기법이다. 일반적으로 고차 대수 방정식(polynomial)이나 초월 함수 방정식 (삼각함수) 의 근을 구하는 문제에 적용할 수 있다.
중간값의 정리에 의해 구간 [a , b]에서 연속함수 f(x)가 f(a)f(b) [ 0 이면 이 구간 안에 적어도
하나 이상의 근이 존재한다는 원리를 이용한다.
Xsol = a1 +
=
★ 이분법의 특징
- 반드시 해가 존재한다. (함수의 연속성이 요구되지 않는다.)
- 계산 횟수 평가가 용이하다.
- 계산 구간을 미리 설정해야 한다. (수렴속도가 느리다.)
[뉴톤법]
뉴턴법(Newton method) 또는 뉴턴-랩슨법(Newton-Raphson method) 으로 불리는 이 방법은 f(x)=0 을 만족하는 x값을 구하는 단일 변수 방정식의 수치적 해법 중 하나이다.
뉴턴법은 어떤 지점 (xn, yn)이 주어졌을 때, 이 점을 지나는 f(x)의 접선과 x축과의 교점을 (xn+1, 0)이라고 하면, xn+1 이 xn에 비해 근 x에 더 가까워 지는 기하학적 특성을 이용하는 방법이다.
뉴턴법은 수렴 속도가 단일 변수 방정식의 해법 중 가장 빠르지만, 해에 수렴하지 않거나, 엉뚱한 해에 수렴할 가능성이 있다. 또, f(x)의 도함수를 구하기 곤란한 경우에는 적용하기 어렵다.
x1 = x0 -
★ 뉴톤법의 특징
- 수렴속도가 빠르다.
- 계산구간을 설정할 필요가 없다.
- 도함수가 존재해야 하므로 함수의 연속성이 요구된다.
- 초기값, x0의 설정이 수렴해를 얻는데 중요한 요소이다.
[할선법]
f(x)=0을 만족하는 단일 변수 방정식의 해를 구하는 수치해석 기법이다.
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2013.12.10
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