리만 가설에 관하여
1. 머리말
소수는 수 중에서 가장 기본이 되는 수이다. 소수로써 거의 모든 수를 설명할 수 있기 때문이다. 오래 전부터 위대한 수학자들은 소수의 신비와 분포에 관하여 연구하여 왔다.
1859년에 리만1)1) Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826～1866)
은 베를린 학술원의 회원으로 선정되었다. 베를린 학술원의 헌장에 의하면, 새로이 선출된 회원은 반드시 최근의 연구업적을 보고하게 되어 있었다. 그래서 리만은 『주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여 (On the number of primes less than a given magnitude)』의 제목으로 보고서를 학술원에 제출하였다.(참고문헌 [12] 참조) 그는 이 보고서에서 리만 제타함수의 성질들을 열거하고 소위, 리만 가설 (the Riemann Hypothesis)을 제시하였다.
이미 이 전에 소수의 분포에 관하여 오일러2)2) Leonhard Euler (1707～1783)
, 르장드르3)3) Adrien Marie Legendre (1752～1833)
, 가우스4)4) Carl Friedrich Gauss (1777～1855)
등의 위대한 수학자에 의하여 연구되었다. 오일러는 소수의 분포를 연구하기 위하여 아래의 제타함수
(1)
를 공부하였다. 그는
(2)
의 관계식을 보였다. 여기서 는 모든 소수 들의 곱을 나타낸다. 관계식 (2)는 「오일러 곱(Euler product)」이라고 불린다. 이 사실로부터 소수의 개수가 무한임을 알수 있다. 를 주어진 양의 실수라고 하고
라고 하자. 여기서 는 모든 자연수들의 집합을 나타내고 는 집합 의 개수를 나타낸다. 오일러는
(3)
이라는 것을 가설로 제시하였다. 오일러, 르장드르, 가우스와 같은 위대한 수학자들이 (3)을 증명하려고 시도하였지만 실패하였다. 1854년에 체비쉐프5)5) Pafnuti L vovich Chebyshev (1821～1894)
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2011.04.29
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