강제진동[일반 실험 레포트]

강제진동 (Driven Harmonic Motion)

1. 실험목적

자연계에서 일어나는 현상 중 가장 흔하면서도 중요한 진동계에 대해 실험으로써 이해한다. 특히 진동계에 외부의 영향이 주어졌을 때 시스템의 반응을 살펴본다.

• 용수철 상수 측정 및 진동계의 고유진동수 측정
• 용수철 단진동의 마찰에 의한 감쇠지수 측정
• 구동주파수의 변화에 따른 진동계의 반응 (진폭 및 위상 관찰)
• 다양한 감쇠현상(자기마찰)에서의 감쇠지수 측정

2. 실험이론

가. 감쇠진동

실제로 물체가 매질 속을 움직일 때 매질은 운동을 저지시키는 방향으로 저항한다. 결국 움직이는 물체의 운동 에너지는 저항 때문에 계속 열로 빼앗기다가 마침내 운동은 멈춘다. 매질 속에서 움직이는 운동의 경우라도 때에 따라서는 역학적 운동 방정식에 어떤 량을 첨가함으로써 그 운동을 대략 기술할 수 있다. 그러한 경우는 매질의 저항이 아주 적은 운동, 예를 들어 작은 진폭의 진동 운동의 경우이다. 이러한 경우, 우리는 물체에 미치는 저항 혹은 마찰력이 물체의 속도에만 비례한다고 간주할 수 있으며, 뉴턴의 운동 방정식을 적용할 수 있게 된다.

위의 식을 m으로 나누고, k/m = , b/m = 2 라 놓으면 위의 식은 다음과 같이 된다.

여기서 는 마찰이 없는 경우에서의 자유 진동 주파수이다. 는 감쇄계수라 부른다.
위와 같이 계수가 상수인 2차 미분 방정식의 일반해는 다음의 성질을 가진다. 위의 식을 만족하는 서로 다른 해, , 가 있을 때, 일반해 로 주어진다. 두 개의 임의의 상수는 초기 조건에 의해 구해진다. 이런 경우에 형의 해가 항상 존재한다는 것을 알 수 있다. 따라서, 해의 형태로 x = 이라 놓고 위의 식에 대입하면, 에 대한 방정식 을 얻는다. 이로부터 = 의 두 근을 얻는다. 운동방정식의 일반해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

해의 성질을 마찰의 크기에 따라서 다음의 세가지 경우로 나눌 수 있다.

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