베르나이 수학의 철학이론

On Platonism in Mathematics - Paul Bernays

당신들의 허락하에서 이제 나는 수학의 기초들에 관한 연구에서의 현재 상황을 주제로 이야기하고자 한다.
이 영역에서 열린 물음들이 남아 있기 때문에 그것에 관한 확정적인 그림을 그려줄 입장에 있지 않다. 어떤 관점에서 기초적 위기에 관해 말하는 사람들에게서 듣게 되어 생각할 수 있는 것만큼 그렇게 비관적이지는 않다. 어떤 관점에서 이 표현은 정당화될 수 있다. ; 그러나 수학적 학문이 뿌리채 흔들리고 있다는 견해는 제거될 수 있는 것이다.
진실은 수학적 학문들이 완벽한 신뢰성과 조화속에서 성장하고 있다는 것이다. 데데킨트, 포앙카레, 그리고 힐버트의 개념들은 그 결과에서의 임의적 갈등없이 커다란 성공과 함께 체계적으로 발전해 왔다.
반박들이 제기되어 온 것은 철학적 관점에서부터일 뿐이다. 그것들은 해석학과 집합론에 고유한 추론방식들을 가지고 있다. 이 추론양식들은 먼저 calculus의 방법들에 엄격한 형식을 제공하는데 체계적으로 적용되었다. [그것들에 따르면] 이론의 대상들은 다음과 같이 추론할 수 있는 총체의 원소들로서 보여진다. :그 이론의 개념들을 사용하면서 표현가능한 각 속성들에 대해, 이 속성을 가진 총체의 원소가 존재하는지 그렇지 않은지의 여부가 객관적으로 확정된 것(사실)이다. 유사하게 이 관점에서부터 집합의 모든 요소들이 주어진 속성을 소유하거나 그것을 소유하지 않는 요소가 최소한 하나가 존재한다는 것이 따라나온다.
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