극한 연속 미분 적분에 관한 노트

CHAPTER 1 도함수와 편도함수

§1.1 함수의 극한

어떤 집합의 최소상계(supremum)와 최대하계(infimum)는 그 집합의 원소일수도
있고 그렇지 않을수도 있다.

Example 집합 일 때 이고 이다. 그런데
은 집합 의 원소가 아니다.

Theorem 수열 이 비감소수열 이고 위로 유계이면 수렴하고 그 수렴값은 의 치역 의 최소상계이다.

[증명] 라 놓으면 가 유계이므로 반드시 최소상계 가 존재 한다. 가 최소상계이므로 임의의 양수 에 대하여 을 만족하는 수열 의항 이 (적어도 하나)존재한다. 수열 가 비감소수열 이므로 인 모든
자연수 에 대하여 이다. 따라서 이 성립한다. 즉

Theorem 두 수열 과 에 대하여 이고
일 때 (1) 이고, (2)이다.
[증명]
(1) 다음 등식을 이용하자.

임의의 에 대하여 자연수 가 존재하여
이면
이면
이 성립한다.
을 취하면
일 때
이다. (i.e., )
그러면 식 (*)에 의하여,

임을 알수 있다. 따라서
.
(2) (1)에 의해서 을 증명하는 것으로 충분하다.
적당한 자연수 이 존재하여
이면
이 성립한다. ( )
그런데 삼각부등식에 의하여

이므로, 이면 이다.
그러면 임의의 에 대하여 인 충분히 큰 을 취하여
일 때
이 되게 할수 있다. ( )
따라서 이면

이다.

§1.2 함수의 연속

연속성의 정의들

(1) Continuity at a point
임의의 양수 에 대하여 적당한 양수 가 존재하여 이면
일 때 함수 는 에서 연속이라고 한다.
(2) Continuity on an open interval
....

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