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일반 물리학 - 단진자에 의한 중력가속도 측정
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1.제목
- 단진자에 의한 중력가속도 측정
2.목적
- 단진자의 주기를 측정하여 중력가속도의 값을 구하고, 위치에너지와 운동에너지의 변화를 구하여 총 역학적 에너지가 보존되는가를 알아본다.
3.이론 및 방법수정
- 그림과 같이 위쪽이 고정되어 있고 질량이 무시될 수 있는 끈의 아래쪽에 크기를 무시할 수 있는 질량 m인 추가 매달려 주기운동을 하는 역학계를 단진자라고 한다. 이 단진자의 위쪽 끝에서 추의 중심까지의 거리를 l로 나타내자. 단진자가 수직선과 이루는 각이 일 때 추에 작용하는 접선력은 이며, 항상 안전 평형점인 을 향해 복원력의 역할을 하게 된다. 따라서 접선방향의 운동방정식은 다음과 같다.
(1)
여기서 는 호를 따라서 측정한 변위이다.
진폭이 매우 작은 진동 (인 경우에 로 근사시킬 수 있고 변위 와 각와의 관계식인 를 이용하면, 식 (1)은 다음과 같이 된다.
(2)
이 식은 단조화 운동방정식이다. 따라서 이 식의 일반해는
(3)
이다. 여기서 A는 진폭이고 는 각속도이다. 그리고 이 단조화운동의 주기 T는 (4)
이다. 이식으로부터 중력가속도는
(5)
이 된다. 따라서 주기 와 길이 을 알면 중력가속도 값을 구할 수 있다.
참고로 식 (5)에서 보는 바와 같이 주기는 진폭이나 추의 질량에는 무관하다. 그러나 식 (5)는 추를 하나의 질점으로 생각하고, 진폭이 극히 작다는 가정 아래 이루어진 것이므로 실제로 진폭이 좀 커지거나 추의 반지름이 어느 정도의 크기를 갖게 되면 식 (4)에 보정항을 고려한 정확한 관계를 얻을 수 있다.
진폭 가 아주 작지 않은 경우, 주기 는 다음과 같이 보정된다.
(6)
또한, 단진자의 길이 에 비하여 구의 반지름 r이 어느 정도의 크기를 가질 때에는 (7)
와 같이 보정되므로 위의 두 요소를 동시에 고려하면
(8)
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2015.02.06
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